《计算进化史:改变数学的命运》Note

数学,一个由无数抽象概念组成的集合,一门改变无数人的人生轨迹的课程,一个经常让人感叹“每个符号都认识但连在一起就不认识”的异形怪物,终于在这本书里学会了谦卑,被一个曾经的手下败将改变了命运,它就是“计算”。这本书《计算进化史:改变数学的命运》由法国数学家,逻辑学家,航空安全专家吉尔多维克撰写。同时,这本书也荣获法兰西学术院哲学大奖。因为我自身的学术背景跟计算数学息息相关,所以经常会看一些通识读物。但是去年在读过《微积分的历程:从牛顿到勒贝格》之后,我一度觉得计算跟数学核心的距离越来越远,越来越成为一个被数学家们看不起的“实用工具”。直到看到这本书,它不仅把我的疑虑全部扫除,而且还给我足够的信心:如果没有计算,数学恐怕只能画地为牢,兴许早就被当做希腊或者法国的“传统文化”进入博物馆了。

这本书的核心就是在论述“计算”从数学中产生,到被抽象,再到被推理边缘化,最后绝杀返场的辛酸历史。我们知道,数学里充斥着逻辑推理,很多人都喜欢精巧的推理,特别是在看《福尔摩斯》《狄仁杰系列》的时候,经常对里面一环扣一环的推理拍案惊奇。它就像一座艺术品,少一点显得不严密,多一点又太冗长。这些巧夺天工的艺术品,组成一座座优雅的宫殿,没有一丝烟尘。在很长一段时间里,计算被视为丑陋的锄头而被搁置一边,数学家们竞相追逐的目标就是那一个个晶莹剔透的艺术品,无数大师构建了很多“上帝”级别的蓝图。但是直到有一天,基于逻辑推理的宫殿开始出现裂缝,而此时“计算”从沉睡中被唤醒了。。。

1 从计算到推理的转变

从一开始,数学其实就是产生于“算学”。出于生存需要,美索不达米亚和埃及的会计师早早就掌握了加减乘除的计算法则, 比如划分田地,分配粮食等等。计算土地和粮食,都是基于有限的数量做计算,但是如果把100平方米,100颗鸡蛋,100根绳子,100个日起日落的共同点拿出来,那就是一个抽象的数字:100。它摆脱了任何物理上的约束,从而可以扩大无穷倍,直到无穷大。2500年前的毕达哥拉斯学派汇集了一群“异想天开”的人,他们不想再受现实的局限,而是想找到那些涉及无穷大的道理。他们在思考一个命题:一个平方数不可能是另一个平方数的2倍。这里面所提到的平方数没有上下界,所以就算找来前1万个自然数做验证,也无法确定命题成立,也许第10001个数就能推翻命题。所以,毕达哥拉斯学派的人一致认为:基于具体数字的有限计算是无法解决涉及到无穷大(或无穷小)的问题的,所以数学要靠逻辑推理来判断。从那以后,他们认为“计算”只要能当做一个工具来解决实际问题就好了,真正的数学肯定是基于逻辑推理的。此后,无数哲学家和数学家们(苏格拉底,亚里士多德,莱布尼兹,罗素,希尔伯特等等)为了追求逻辑中的纯粹性,开始对抽象的概念再进行抽象,用来触碰“天生”(先验)的逻辑,从而诞生了公理化方法。至此猜想-定理-证明成了数学的三座支柱,计算被弃置一旁。

2 公理化和谓词逻辑

这一部分详细介绍了公理化方法的创立。这一部分非常抽象也很刷新认识。一个例子是在几何中的一条公理“过两点有且只有一条直线”中的很多词,比如“点”,“线”,“面”,“过”完全可以去掉任何现实含义,而抽象成A,B,C,D四个字母,然后之后所有的定理也按照这种方式来推导,不做任何现实意义的解读。这样做的结果居然丝毫不影响构建现在的整个几何学大厦。这个观点一开始让我觉得很疯狂,如果真是这样,那么我们十几年来学过的所有几何定理仅仅是一些字母的排列组合。并且,如果公理改变,那些定理不过是把字母的顺序调一调而已,而且就连精心设计的证明过程,也可以看做恰好能自圆其说的字母组合。这一部分,让我觉得数学的公理化已经完全达到了人类抽象能力的极限,如果一切顺利的话,那么正如希尔伯特畅想的那样,数学的这个房间建好了,大家以后直接登录进来各取所需就好。可惜,丘齐和图灵用“逻辑推理”否定了希尔伯特对“逻辑推理”的畅想,具体的方法涉及到可计算理论和构造性理论,这些都直接导致了计算机的诞生。这里面太过复杂,而且很多概念都上升到了哲学层面(构造主义),实话说,很难通过一本科普级别的书就搞明白,这里就略过。

3 公理化危机

当公理化无法解决很多问题的时候,计算就又回来了。这里就举一个例子:四色定理的证明。给任何一个地图上色,要求是相接触的图形颜色不同,那么只需要四种颜色就够了。这个问题在1853年提出,25年后有人声称解决了问题,但是10年之后被发现证明有误。直到1976年,开尼斯和沃尔夫冈才借助计算机彻底解决了问题。这个证明的过程的逻辑非常严密,没有漏洞,但是却饱受争议,因为这个证明毫无优雅可言,而且里面使用了简单粗暴的穷举法。通过让计算机连续计算1200个小时来验证1500个结果,一份长达几百万页的机器证明诞生了。没有人能够通读,所以打印也变得毫无意义。为了验证这个证明是否正确,2005年乔治和本杰明写了一个程序验证了之前的机器证明。在这一刻,数学变成了实验科学,以后每一位数学家的手上都将沾满丑陋的计算带来的灰尘。到底数学的未来走向何方?本书的作者认为在未来的某个读者,一定会对20世纪的数学家完全靠手工解决所有问题的历史感到吃惊。

虽然未来不得而知,我作为一个资深的“伪数学迷”,如果每隔一段时间能感受到一些思维冲击就已经很满足了。最后想说一下,本书的作者的头衔起初让我非常不解,因为我无论如何都发现不了“逻辑学家”和“航空安全专家”这两者的联系,一个有关最底层的先验判断,一个是很表面的工程应用,不过在读完书后觉得,其实在一个更广阔的意义上,“逻辑”和“安全”可以划等号,因为逻辑来自于本能的判断,在这种本能的驱使下,前辈们不断地对现状提出质疑并加以修正,才最终让我们的周围看上去那么自恰,由此引发的心理舒适谓之“安全”。再次感谢图灵能引进这本带来思想冲击的书,想看就请购买吧!(去买书)

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